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文檔簡介
1、作為一種非參數(shù)統(tǒng)計方法,經(jīng)驗似然自Owen(1988)年提出以來已經(jīng)得到越來越多的關注。它已經(jīng)廣泛用于構(gòu)造興趣參數(shù)和光滑函數(shù)的置信區(qū)域。許多文獻表明相比于正態(tài)逼近方法,經(jīng)驗似然有許多的優(yōu)勢。比如,由經(jīng)驗似然構(gòu)造的置信區(qū)域其形狀完全由數(shù)據(jù)決定,而且還具有域保持性和變換不變性。如今,作為一種重要的非參數(shù)統(tǒng)計方法,經(jīng)驗似然已經(jīng)成為非常有用的統(tǒng)計推斷工具。許多學者已經(jīng)把它應用到線性模型,非參模型及半?yún)⒛P椭小?br> 然而,在許多的應用領
2、域,比如工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會調(diào)查、經(jīng)濟學、生物醫(yī)學和流行病學等領域,由于各種各樣的原因我們很難獲得一些變量的精確測量或全部測量,因此會經(jīng)常遇到諸如測量誤差數(shù)據(jù)、缺失數(shù)據(jù)和刪失數(shù)據(jù)等復雜的數(shù)據(jù)。如何處理這些復雜數(shù)據(jù)進而進行有效的統(tǒng)計推斷已經(jīng)成為當今統(tǒng)計界的研究熱點之一。本學位論文將研究測量誤差數(shù)據(jù)和缺失數(shù)據(jù)下的一些推斷,那就是我們將運用經(jīng)驗似然這個工具來研究兩類有測量誤差的半?yún)⒛P秃陀腥笔?shù)據(jù)的估計方程,我們所做的工作進一步拓寬了經(jīng)驗似然的應
3、用領域。
由于不能直接對感興趣的變量進行觀測,而只能獲得它的替代值。一個簡單、經(jīng)典的測量誤差模型或者變量誤差模型(EV)模型假設W=X+U,其中X是興趣變量,W是變量X在與之獨立的可加測量誤差U下的一個替代值,滿足E(U)=0。對于簡單的線性EV模型及非線性EV模型人們已經(jīng)研究的很多了。隨著應用技術的發(fā)展,半?yún)⒛P陀捎谄潇`活性和可解釋性也得到了很好的研究及廣泛的應用。在半?yún)⒛P椭校兿禂?shù)部分線性模型(VCPLM)和可加部分
4、線性模型(APLM)是兩類很常用的模型,這兩類模型都既有效地避免了非參模型的“維數(shù)禍根”問題(“curse ofdimensionality”)又都具有線性模型的可解釋能力。因此在本學位論文中,我們僅在經(jīng)典測量誤差模型下研究變系數(shù)部分線性模型(VCPLM)和可加部分線性模型(APLM)的推斷。具體地講,在第二章我們將運用經(jīng)驗似然方法對變系數(shù)部分線性EV模型的參數(shù)和非參部分進行推斷,對可加部分線性EV模型的經(jīng)驗似然推斷放到第三章。
5、 半?yún)?shù)變系數(shù)部分線性EV模型有如下的形式:
其中Y是響應變量,T,X和Z是回歸變量,β=(β1,…,βp)’是p維的未知參數(shù),α(T)=(α1(T),…,αq(T))’是q維的未知函數(shù)向量,ε是在給定X,Z,T的條件下零均值的隨機誤差。U是測量誤差,其均值為零,且與(X,Z,T)獨立。You和Chen(2006)研究該模型,對參數(shù)分量部分提出了修正的截面最小二乘估計,對非參部分提出了局部多項式估計,并證明了參數(shù)估計
6、具有相合性和漸近正態(tài)性,非參估計達到了最優(yōu)的收斂速度。但是他們沒有考慮參數(shù)和非參部分置信區(qū)域的構(gòu)造。如果我們采用正態(tài)逼近方法構(gòu)造置信區(qū)域,You和Chen(2006)的結(jié)果告訴我們由于參數(shù)估計的方差很復雜,因而這樣做很不方便。于是本學位論文將采用經(jīng)驗似然的方法對參數(shù)部分和非參部分分別構(gòu)造他們的置信區(qū)域。我們首先給出參數(shù)的一個估計函數(shù),基于該估計函數(shù),我們定義出未知參數(shù)的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量log(R(β)),并在一定條件下證明統(tǒng)計量-2
7、log(R(β))漸近趨于標準卡方分布,因此可以用它來構(gòu)造置信區(qū)域。我們同時也證明了未知參數(shù)β的極大經(jīng)驗似然估計β是漸近正態(tài)的?;跇O大經(jīng)驗似然估計β,我們又提出了對未知函數(shù)α(t)基于殘差調(diào)整的下輔助隨機變量,并定義α(t)相應的殘差調(diào)整經(jīng)驗對數(shù)似然比函數(shù)l(α(t)),證明了在一定條件之下-2l(α(t))的極限分布是標準卡方。
類似于第二章的思想,我們在第三章研究可加部分線性EV模型的經(jīng)驗似然推斷。可加部分線性EV模
8、型具有下面的形式:其中Y是響應變量,X和Z=(Z1,…,ZD)’分別是RP和RD上的協(xié)變量,f1,…,F(xiàn)D是未知函數(shù),β=(β1,…,βp)’是p維的未知參數(shù),ε是隨機誤差,滿足在給定X和Z條件下均值為零。U是均值為零的測量誤差,并且與(X,Z,Y)獨立。為簡單起見,我們研究D=2的情況。為保證非參函數(shù)的可識別性,假設E{f1(Z1))=E{f2(Z2))=0,同時假設X和Y已中心化。通過對衰減的修正(correction-for-at
9、tenuation),我們得到了未知參數(shù)基于糾衰(corrected-attenuation)下的輔助隨機變量作為其估計函數(shù),然后定義相應的基于糾衰的經(jīng)驗似然比函數(shù)。在沒有對非參函數(shù)要求欠光滑(undersmoothing)的條件下,我們證明了相應統(tǒng)計量極限分布是標準卡方分布,因此基于該統(tǒng)計量很容易得到未知參數(shù)的置信區(qū)域。模擬結(jié)果表明:通過比較置信區(qū)域的覆蓋概率和平均長度,我們提出的方法要優(yōu)于Liang,Thurston,Duppert
10、,Apanasovich和Hauser(2008)提出的截面最小二乘方法?;趨?shù)β的經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量,很容易得到它的極大經(jīng)驗似然估計β,進而得到非參函數(shù)修正的后擬(backfitting)估計.因此,對非參函數(shù)我們又給出了其殘差調(diào)整的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量,并證明它仍具有非參的Wilk’s定理。值得一提的是在對非參函數(shù)f1(z1)進行推斷時并不需要精確估計非參函數(shù)f2(z2)在任意點的值,只需知道f2(z2)修正的后擬估計在樣本觀測點處
11、的值即可。
在第四章我們研究缺失數(shù)據(jù)下的估計方程。在Zhou,Wan和Wang(2008)的文章中,他們基于觀測到的數(shù)據(jù)用估計函數(shù)的非參估計進行借補,定義了未知參數(shù)新的估計函數(shù)。由于非參估計的插入,導致估計函數(shù)是有偏的,基于該估計函數(shù)的經(jīng)驗似然比不再收斂于標準卡方,而是卡方變量的加權和,其中的權重是未知的(具體結(jié)果見Zhou,Wan和Wang(2008)文章中的定理3)。因此為了得到標準卡方分布,需要進行調(diào)整,從而需要對未
12、知的調(diào)整因子進行有效的估計。另外,非參估計時窗寬選擇需要欠光滑條件。這些都使得在構(gòu)造未知參數(shù)置信區(qū)域的時候使用起來很不方便。受到Xue(2009a)和Xue(2009b)文章的啟發(fā),我們提出了用加權修正的方法來減非參估計的偏,定義新的估計函數(shù),證明基于新的估計函數(shù)下未知參數(shù)的經(jīng)驗對數(shù)似然比函數(shù)漸近于標準卡方,這一結(jié)果不同于Zhou,Wan和Wang(2008)得到的結(jié)果。因此我們的方法避免了對未知調(diào)整因子的估計,而且可以用基于數(shù)據(jù)(da
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