Johnson方案的Terwilliger代數.pdf

1、代數組合是個相對“年輕”的研究領域.從1984年日本代數組合學家Eiichi Bannai和Tatsuro Ito出版了專著《Algebra CombinatoricsⅠ:associationscheme》后，“代數組合”這個術語開始流行起來.但是代數組合的理論起源卻可以追溯到群表示論，且最初是應用在編碼和設計領域的.而近年來這一領域發(fā)展迅速，與數學的許多分支例如李代數、量子群和統(tǒng)計力學都有著密切聯系.
　　《Algebra C

2、ombinatoricsⅠ:association scheme》這本書提出并詳細討論了（P和Q）-多項式結合方案的分類問題.這個分類目前是代數組合的核心問題:(P和Q)-多項式結合方案不僅本身具有非常有趣的性質而且作為編碼/設計理論的底空間也是非常重要的.Terwilliger對這一分類做了非常重要的貢獻，他提出了次成分代數的概念（現在我們稱其為Terwilliger代數或簡稱為T-代數）.另外他建立了關于薄的情形的表示理論，也就是L

3、eonard系統(tǒng)理論[23，24，25].Terwilliger代數包含Bose-Mesner代數，而且Terwilliger代數比Bose-Menser代數大得多，它包含更多局部結構的有關信息;當（P和Q）-多項式結合方案是薄的，Leonard系統(tǒng)理論可以從代數角度分析這個結合方案的局部結構.
　　在參考文獻[25]中，Terwilliger給出了一些Leonard系統(tǒng)是薄的(P和Q)-多項式結合方案的例子.Johnson方案J

4、(N，D)(2D≤N)就是其中之一.設(X)=(X，{Ri}0≤i≤D)是Johnson方案J(N，D)(2D≤N)[2，第3章，第2節(jié)]:給定集合Ω(|Ω|=N)，且定義X=(ΩD)={x(∈)Ω||x|=D}，Ri(∈)(x，y)(→)|x∩y|=D-i.對于一個固定的基本點x0∈X，設T=T(x0)是(X)的Terwilliger代數.設V=CX是關于T的標準模.因為T是半單代數且V是忠實的T-模，則在同構的意義下，所有的不可約T

5、-模都將作為T-子模的形式出現在V中.設W是V的不可約T-子模.則由一個W可得到一個Leonard系統(tǒng)LS(W)，方法如下:不可約T-模W的同構類由Leonard系統(tǒng)LS(W)的同構類所確定，反之也成立[24].另外，Leonard系統(tǒng)LS(W)的同構類由參數均是非負整數的有序三元組（v，μ，d）所確定[25，例6.1(1)]，其中(v，μ，d)滿足:0≤D-d/2≤v≤μ≤D-d≤D，d∈{D-2v,min{D-μ，N-D-2v}}.

6、在本篇論文中，我們將會介紹有序二元組（α，β），其中α，β是非負整數且滿足0≤α≤D/2,0≤β≤min{D,N-D/2}，0≤α+β≤D.并且我們建立了從三元組（v，μ，d）到二元組（α，β)的雙射.
　　三元組（v，μ，d）對于Leonard系統(tǒng)有一定的涵義.二元組(α，β)關于對稱群的表示也具有一定的涵義.三元組(v，μ，d)與二元組（α，β)之間的雙射搭建了組合與代數表示論之間的橋梁.
　　本篇論文的結構如下:在第一