階為（2，3）且?guī)缀螄L為偶數(shù)的距離正則圖.pdf

1、圖論是近幾十年來發(fā)展十分迅速的一個新興的數(shù)學分支.從古老的5個柏拉圖立體開始，對稱和正則圖形始終是數(shù)學中最引人入勝的一個研究方向.即使是現(xiàn)在，這個領域仍有很多富有挑戰(zhàn)性的問題.許多正則性質自然的表現(xiàn)為結合方案，其中P-多項式方案實質上就是距離正則圖. 上世紀七十年代初，英國數(shù)學家Biggs首先提出距離正則圖這一概念，接著他和一批數(shù)學家Gardiner,Smiths，Brouwer,Bannai和Ito等建立了距離正則圖的基本理論

2、.近幾十年，距離正則圖理論的研究非?；钴S，并且與圖論，設計理論，碼論，幾何論和群論都有密切的聯(lián)系，是代數(shù)組合論的一個重要分支. 距離正則圖的分類問題一直是距離正則圖研究中的一個重要的問題.Ivanov指出距離正則圖Г的直徑d(Г)由價k和r(Г)的函數(shù)定界，從而為了對固定價k的距離正則圖進行分類，主要的工作就在于確定r(Г)的上界. 對于一個距離正則圖Г，當α1=1或c2=1時，每一個極大團的大小都為s+1=α1+2，不

3、存在同構于K2,1，1的導出子圖，從而我們可以在此情形下只考慮階為(s，t)的距離正則圖. 對于階為(s，t)的距離正則圖.t=0，1，2時，Mohar,，Ito，Biggs，Boshier,Shawe-Taylor，Bannai，Hiraki，Nomura，Suzuki和Yamazaki等數(shù)學家經過二三十年的研究，已經完全解決了.t=3時并沒有太多相關分類的結論.當s=1時，階為(1，3)的距離正則圖是價為4，α1=0的圖.上

4、世紀八十年代末，Bannai和Ito證明了價為4的距離正則圖的直徑存在界，但當時并沒有得到完整的分類.直到1999年，Brouwer和Koolen應用計算機搜索，得到了這類圖的完全分類.Suzuki指出：s＞1是一個限制性很強的條件，在t=3時，對階為(2，3)，(3，3)，(4，3)的距離正則圖的研究是很有意義的. 目前尚未解決的最小的情形就是階為(2，3)的距離正則圖，本文我們所考慮的就是階為(2，3)并且?guī)缀螄L為偶數(shù)，即

5、cr+1＞1的距離正則圖的分類情況. 本文主要應用組合和代數(shù)兩種方法.首先用組合方法分析交叉表中所有可能的參數(shù)，將不存在的交叉數(shù)排除，剩下有限多個僅依賴于r的交叉表的情形；第二步就是用代數(shù)方法進行相關計算，得到r的上界；再應用計算機對剩下的有限種情況一一計算，利用圖特征值重數(shù)的整數(shù)性排除不可能的交叉表，從而大大壓縮了直徑d可能的范圍，為階為(2，3)，幾何圍長是偶數(shù)的距離正則圖的完全分類起了重大的作用。 文章共分為三章.

6、 第一章主要介紹了有關距離正則圖的基本概念，性質，以及研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀. 第二章利用組合方法分析了所有滿足基本必要條件的交叉數(shù)，排除了不可能存在的交叉表參數(shù)，剩下的情形直徑d只與r和s的大小有關. 第三章主要應用代數(shù)方法和特征值理論，針對第二章剩下的各情形計算，得到r和s的上界，從而確定直徑d的范圍.進一步利用計算機計算圖特征值的重數(shù)，排除重數(shù)非整數(shù)的情形，為階為(2，3)，cr+1＞1的距離正則圖的完全分類作