凸優(yōu)化問題幾類束方法對偶問題的研究.pdf

1、對于無約束優(yōu)化問題，在迫近束方法思想基礎上，相關文獻從對偶空間角度通過求解帶有二次項的原問題的等價穩(wěn)定子問題，得到了原問題近似解的表達形式以及與其解相關的重要性質.這些重要結果都成為此后我們進一步深入研究非光滑優(yōu)化束方法的理論基礎.本文中，我們繼續(xù)以迫近束方法的思想為基礎，將無約束優(yōu)化問題等價于一系列帶有特殊范數標準的二次規(guī)劃子問題來求解，從對偶空間角度，運用對偶定理將原問題的求解轉化為其對偶問題的求解，仍然從問題的解的表達形式入手，不

2、僅研究其解的表達形式，而且也得到了與解有關的重要性質.鑒于許多帶有約束的優(yōu)化問題都可以轉化為無約束優(yōu)化問題進行求解，本文又針對帶有非光滑約束的優(yōu)化問題，單純應用迫近束方法從對偶角度對其進行研究.進一步，在迫近束方法的思想基礎上將水平束方法與其結合，應用雙穩(wěn)定束方法來解決此約束優(yōu)化問題.從其對偶問題的角度，研究其解的形式及相關性質，發(fā)現(xiàn)不但解的表示形式不盡相同，且其與之前迭代點的次梯度的凸組合有關，而且次梯度值和額定下降都與單純用迫近束方

3、法從對偶問題角度解無約束優(yōu)化問題時有相類似的性質.
　　本論文主要從對偶空間角度應用不同類型的束方法，以研究無約束優(yōu)化問題得到的重要結果為理論依據，研究帶有約束的非光滑優(yōu)化問題.全文分為三個部分，其主要內容如下:
　　第一章，首先結合非光滑優(yōu)化問題的歷史背景與研究現(xiàn)狀對束方法的重要性以及發(fā)展歷程進行介紹.目標函數的非光滑性使優(yōu)化問題的求解面臨重重困難，為克服計算上以及理論分析上的障礙，許多方法應運而生，束方法就是其中之一.我

4、們將分別對最速下降法、黑盒子方法和一般束方法如何求解無約束優(yōu)化問題的基本思想進行介紹，為第二章和第三章中問題的深入研究做理論鋪墊.
　　第二章，首先介紹非光滑迫近束方法的提出及其基本思想.本章中，將主要運用迫近束方法思想，將無約束原始問題轉化成一系列二次懲罰子問題來求解，從對偶空間角度，對懲罰子問題展開研究，并在其對偶空間內展開相關性質的探討與證明，驗證是否可以刻畫原問題與對偶問題之間的關系，以得到與前人文章中相類似的子問題最優(yōu)解

5、的具體表達形式.進一步，總結出問題最優(yōu)解與之前迭代點的次梯度的凸組合之間的關系，及次梯度和額定下降的相關性質.其次，我們繼續(xù)使用迫近束方法，應用上述思想，將帶有約束的非光滑優(yōu)化問題進行等價變換，應用指示函數方法將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題，得到相類似的重要結論.
　　第三章，主要介紹非光滑雙穩(wěn)定束方法的提出及其基本思想的運用.首先，我們運用迫近束方法和水平束方法的思想，將以非光滑凸函數為目標函數，以非空閉凸集為約束集合的原始

6、優(yōu)化問題轉化成一系列帶有水平約束的二次規(guī)劃子問題來求解，并進一步應用指示函數方法將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題.接下來我們繼續(xù)針對雙穩(wěn)定性束方法，類似地，從對偶空間角度，找到懲罰子問題的對偶問題，并在其對偶空間里展開相關性質的探討與證明，驗證是否可以深入刻畫原問題與對偶問題之間的關系，從而得到與第二章中相類似的問題最優(yōu)解的具體表達形式.最后，找出了原問題的最優(yōu)解與之前迭代點的次梯度的凸組合之間的關系，以及次梯度和額定下降的相關性質.