對數函數及其性質

1、第 1 頁 共 10 頁 2.2 2.2.2 對數函數及其性質 對數函數及其性質 1．對數函數的概念 (1)定義：一般地，我們把函數 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做對數函數，其中 x 是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)． (2)對數函數的特征： 特征? ? ? ? ?logax的系數：1logax的底數：常數，且是不等于1的正實數logax的真數：僅是自變量x判斷一個函數是否為對數函數，只需看此函數是否具備了對數函數的特征．

2、 比如函數 y＝log7x 是對數函數，而函數 y＝－3log4x 和 y＝logx2 均不是對數函數，其原因是不符合對數函數解析式的特點． 【例 1－1】函數 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是對數函數，則實數 a＝__________． 解析： 解析：由 a2－a＋1＝1，解得 a＝0,1． 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1． 答案： 答案：1 【例 1－2】下列函數中是對數函數的為__________． (1

3、)y＝loga x (a＞0，且 a≠1)；(2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且 x≠1)； (5)y＝log6x． 解析： 解析： 序號 是否 理由 (1) × 真數是 x ，不是自變量 x (2) × 對數式后加 2 (3) × 真數為 x＋1，不是 x，且系數為 8，不是 1 (4) × 底數是自變量 x，不是常數

4、(5) √ 底數是 6，真數是 x 答案： 答案：(5) 2．對數函數 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的圖象與性質 (1)圖象與性質 a＞1 0＜a＜1 圖 象 性 質 (1)定義域{x|x＞0} (2)值域{y|y?R} (3)當 x＝1 時，y＝0，即過定點(1,0) (4)當 x＞1 時，y＞0；當 0＜x＜1 時，y＜0 (4)當 x＞1 時，y＜0；當 0 ＜x＜1 時，y＞0 (5)在(0，＋∞)上是增函數

5、 (5)在(0，＋∞)上是減函數 談重點 談重點 對對數函數圖象與性質的理解 對數函數的圖象恒在 y 軸右側， 其單調性取決于底數．a＞1 時，函數單調遞增；0＜a＜1 時，函數單調遞減．理解和掌握對數函數的圖象和性質的關鍵是會畫對數函數的圖象， 在掌握圖象的基礎上性質就容易理解了． 我們要注意數形結合思想的應用． (2)指數函數與對數函數的性質比較 第 3 頁 共 10 頁 ①由 y＝f(x)解出 x，即用 y 表示出 x； ②把

6、x 替換為 y，y 替換為 x； ③根據 y＝f(x)的值域，寫出其反函數的定義域． 【例 3－1】 若函數 y＝f(x)是函數 y＝ax(a＞0， 且 a≠1)的反函數， 且 f(2)＝1， 則 f(x)＝( ) A．log2x B． 12x C． 12log x D．2x－2 解析： 解析：因為函數 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的反函數是 f(x)＝logax， 又 f(2)＝1，即 loga2＝1，

7、所以 a＝2．故 f(x)＝log2x． 答案： 答案：A 【例 3－2】函數 f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函數的定義域為( ) A．(0，＋∞) B．(1,9] C．(0,1) D．[9，＋∞) 解析： 解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9， 即函數 f(x)的值域為(1,9]． 故函數 f(x)的反函數的定義域為(1,9]． 答案： 答案：B 【例 3－3】若函數 y＝f(x)的反函數圖象過點(1

8、,5)，則函數 y＝f(x)的圖象必過點( ) A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5) 解析： 解析：由于原函數與反函數的圖象關于直線 y＝x 對稱，而點(1,5)關于直線 y＝x 的對稱點為(5,1)，所以函數 y＝f(x)的圖象必經過點(5,1)． 答案： 答案：A 4．利用待定系數法求對數函數的解析式及函數值 對數函數的解析式 y＝logax(a＞0，且 a≠1)中僅含有一個

9、常數 a，則只需要一個條件即可確定對數函數的解析式，這樣的條件往往是已知 f(m)＝n 或圖象過點(m，n)等等．通常利用待定系數法求解，設出對數函數的解析式 f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1)，利用已知條件列方程求出常數 a的值． 利用待定系數法求對數函數的解析式時，常常遇到解方程，比如 logam＝n，這時先把對數式 logam＝n 化為指數式的形式 an＝m， 把 m 化為以 n 為指數的指數冪形式 m＝kn(k＞0， 且

10、 k≠1)，則解得 a＝k＞0．還可以直接寫出1n a m ? ，再利用指數冪的運算性質化簡1n m ． 例如： 解方程 loga4＝－2， 則 a－2＝4， 由于2 1 4 2? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 12 a ? ? ． 又 a＞0， 所以 12 a ? ． 當然，也可以直接寫出12 4 a? ? ，再利用指數冪的運算性質，得1 12 1 2 2 1 4 (2 ) 2 2 a? ? ? ? ? ? ? ． 【例 4－1

11、】已知 f(ex)＝x，則 f(5)＝( ) A．e5 B．5e C．ln 5 D．log5e 解析： 解析：(方法一)令 t＝ex，則 x＝ln t，所以 f(t)＝ln t，即 f(x)＝ln x． 所以 f(5)＝ln 5． (方法二)令 ex＝5，則 x＝ln 5，所以 f(5)＝ln 5． 答案： 答案：C 【例 4－2】已知對數函數 f(x)的圖象經過點 1 ,2 9? ?? ? ? ?，試求 f(3)的值．