泛函分析習題1

1、線性與非線性泛函分析◇1習題習題11.(張燕石淼)設在全體實數上，定義兩個二元映射和(2)R2()()xyxy???，證明(1)不是度量空間；(2)是度量空間()dxyxy??()?R()dR2.(范彥勤孫文靜)設為度量空間，為嚴格單調函數，且滿足X?():f???[0][0]，令，證明為度量空xyf???[0](0)=0()()()fxyfxfy???()(())dxyfxy??Xd()間3.(武亞靜張丹)設為度量空間，證明有Xd()

2、xyzwX??()()()()dxzdywdxydzw???4.(崔伶俐楊冰)設全體實數列組成的集合為，對于??123(.......)|12...niXxxxxxRi???及，定義證明為123(.......)nxxxxx?12(......)nyyyy???11()12kkkkkkxydxyxy???????Xd()度量空間5.設為和組成的維有序數組，例如，對()Xn01n(3)000001010011100101110111X?于

3、任意的，定義為和中取值不同的個數，例如在中，()xyXn?()dxyxy(3)X，證明為度量空間(110111)1d?(010010)0d?(010101)3d?(())Xnd6.(蘇艷丁亞男)設為度量空間，且證明是開集當且僅當為開球Xd()AX?A??AA的并7.(張振山趙揚揚)設和是兩個度量空間那么映射是連續(xù)映射當且Xd()Y?():fXY?僅當的任意閉子集的原象是中的閉集YF1()fF?X8.(王林何超)設與是度量空間的兩個Cau

4、chy列證明是收??nx??nyXd()??nnnadxy?斂列9.(李敬華孫良帥)設和是兩個度量空間，在上定義度量Xd()Y?()XY?，其中，為正數證112212121(()())[()][()]pppxyxydxxdyy???1122()()xyxyXY??1p?明是完備空間當且僅當和均是完備空間XY?Xd()Y?()10.(李秀峰錢慧敏)設是完備的度量空間，是中的一列稠密的開子集，Xd()??11nGxG?X線性與非線性泛函分析

5、◇3，其中稱為與的距離12()dFF?1212()inf()dFFdxyxFyF???1F2F23.設是度量空間中的兩個子集，其中是緊集，是閉集，若12FF()Xd1F2F則必存在12()0dFF?012xFF??24.設為完備的度量空間，映射滿足：且有()Xd:AXX?xyX??xy?()()dAxAydxy?若知有不動點，那么此不動點是惟一的A25.設是中的有界閉子集，且，映射滿足M()ndRxyM??xy?:AMM?，證明在中存在

6、惟一的不動點()()dAxAydxy?AM26.證明有界數列空間是完備的度量空間(距離的定義：)l?()sup||iiidxyxy??27.證明在維歐氏空間中點列收斂等價于按坐標收斂即如果nnR，其中，及，那么()()()12()iiiinxxxx??(12)in???(0)(0)(0)012()nxxxx??（等價0()ixxi???12()(0)201()||0()niijjjdxxxxi?????????????于()(0)0()