第一節(jié)偏導數

1、,第一節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、 偏導數概念及其計算,二 、高階偏導數,,偏導數與全微分,第十二章,一、 偏導數定義及其計算法,引例:,研究氣體的狀態(tài)方程 PV=RT.,等溫過程中體積關于壓強P的變化率,在物理學中經?？紤]： 等壓過程下的氣體體積關于溫度的變化率問題,(R是普適氣體常數),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,將狀態(tài)方程寫成,其中P為常數,其中T為常數,在

2、數學上就等價于要研究二元函數當一個變量不變時，關于另一個變量的導數問題。,在等壓過程中，氣體體積關于溫度的導數大于0，這說明此時體積隨溫度的變化而單調增加，即 溫度上升時體積增大，溫度下降時體積減少,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,這些是熟悉的物理規(guī)律。,為此，我們引入偏導數的概念。,在等溫壓過程中，氣體體積關于壓強的導數小于0，這說明此時體積隨壓強的變化而單調減少，即 壓強增大時體積收縮，

3、壓強減少時體積膨脹,定義1.,在點,存在,,的偏導數，記為,的某鄰域內,則稱此極限為函數,極限,,設函數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,注意:,同樣可定義對 y 的偏導數,若函數 z = f ( x , y ) 在域 D 內每一點 ( x , y ) 處對 x,則該偏導數稱為偏導函數,,也簡稱為,偏導數 ,,記為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,或 y 偏導數存在 ,,二元函數偏導數的

4、幾何意義:,是曲線,在點 M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點M0 處的切線,斜率.,是曲線,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,對 y 軸的,例如, 三元函數 u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對 x 的,偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,偏導數定義為,(請自己寫出),因此,計算多元函數的偏導數，就可以按照一元

5、函數的求導法則和求導公式進行。,多元函數的偏導數就是多元函數分別關于每一個自變量的導數 （不求導數的其它變量看成常數）.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1 . 求,解法1:,解法2:,在點(1 , 2) 處的偏導數.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 設,證:,例3. 求,的偏導數 .,解:,求證,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,從以上例子我們注意到如

6、下事實： 若在f(x,y)的表達式中將x換為y,同時將y換為x時，表達式不變，則稱函數f(x,y)對x，y時有輪換對稱性。 對具有輪換對稱性的函數，如果已經求得偏導數 ，則只要在 的表達式中將x 換成 y，同時將y 換成x，就可得到 。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例如： 例1，例3 .,這種方法可以推廣到二元

7、以上的函數 .,“可導必連續(xù)”是一元函數中所熟悉的性質，但在多元函數來講，類似的性質并不成立。,顯然,例如,,注意：,即函數偏導數存在，但不一定連續(xù).,上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結束,但 f (x , y) 在點(0 , 0)并不連續(xù)!,偏導數記號是一個,例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說明:,(R 為常數) ,,不能看作,分子與分母的商 !,,此例表明,,機動 目錄 上頁 下頁

8、返回 結束,整體記號,,二、高階偏導數,設 z = f (x , y)在域 D 內存在連續(xù)的偏導數,若這兩個偏導數仍存在偏導數，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導數 .,按求導順序不同, 有下列四個二階偏導,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,數:,類似可以定義更高階的偏導數.,例如，z = f (x , y) 關于 x 的三階偏導數為,z = f (x , y) 關于 x 的 n –1 階偏

9、導數 , 再關于 y 的一階,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,偏導數為,例6. 證明函數,滿足拉普拉斯,證：,利用對稱性 , 有,方程,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 求函數,解 :,注意:此處,但這一結論并不總成立.,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,的二階偏導數及,例如,,二者不等,,,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返

10、回 結束,證明 目錄 上頁 下頁 返回 結束,我們有下面的定理：,那么一個函數具有什么條件時，它的二階混合偏導數與求導的順序無關呢？,,則,本定理對 n 元函數的高階混合導數也成立.,證:令,則,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定理.,令,同樣,在點,連續(xù),,得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證明 目錄 上頁 下頁 返回 結束,類似, 對三

11、元函數 u = f (x , y , z) ,,說明:,函數在其定義區(qū)域內是連續(xù)的 ,,故求初等函數的高階導,數可以選擇方便的求導順序.,因為初等函數的偏導數仍為初等函數 ,,當三階混合偏導數,在點 (x , y , z) 連續(xù)時, 有,而初等,例6. 設,即 x＝y(tǒng)＝0 時,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7,設,方程,確定 u 是 x , y 的函數 ,,連續(xù), 且,求,解:,,,,機動 目錄 上

12、頁 下頁 返回 結束,例8,設,,計算,（其中P,q為正整數）。,因此，關于y用Leibniz公式得,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,關于x再用一次Leibniz公式就得：,內容小結,1. 偏導數的概念及有關結論,定義; 記號; 幾何意義,函數在一點偏導數存在,函數在此點連續(xù),混合偏導數連續(xù),,與求導順序無關,2. 偏導數的計算方法,求一點處偏導數的方法,,先代后求,先求后代,利用定義,求高階偏